M. Sperber Sommersemester 1997

Funktionale Programmierung

Blatt 8

Abgabe: 26.6.1997

1. [5 Punkte] Geben Sie eine Menge an, welche die Bereichsgleichung löst und nicht isomorph zu ist.
2. [5 Punkte] Beweisen Sie, daß die vollständige Halbordnung mit Bottom, die durch folgendes Hasse-Diagramm definiert wird, nicht algebraisch ist.

   

3. [15 Punkte] Sei eine vollständige Halbordnung. Beweisen Sie, daß D eine Topologie hat, und daß dann die topologische Definition stetiger Funktionen mit der in der Vorlesung vorgestellten übereinstimmt.

   Benutzen Sie dazu die Scott-Topologie, die wie folgt definiert ist:

   ist eine offene Menge von D genau dann, wenn

   

   und für alle Ketten mit gilt:

   

   1. ,,Offen`` definiert tatsächlich eine Topologie, d.h. und D sind offen, jeder endliche Durchschnitt von offenen Mengen ist offen, und jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
   2. Für jedes ist offen.
   3. ist eine stetige Funktion zwischen vollständigen Halbordnungen D und E genau dann, wenn f topologisch stetig ist. Eine Funktion ist topologisch stetig genau dann, wenn für jede offene Menge V von E eine offene Menge von D ist.
   4. Die offenen Mengen einer vollständigen Halbordnung D sind genau die Mengen für die stetigen Funktionen .
4. [10 Punkte] Beweisen Sie, daß in einer gerichteten vollständigen Halbordnung D jede monotone Funktion einen Fixpunkt besitzt.

   Geben Sie ein Beispiel für eine monotone Funktion , wobei D lediglich eine ,,normale`` vollständige Halbordnung ist, so daß f keinen Fixpunkt besitzt.

5. [10 Punkte] In einer gerichteten vollständigen Halbordnung D heiße ein Element kompakt, wenn für jede gerichtete Teilmenge X mit ein existiert mit . Eine gerichtete vollständige Halbordnung D ist algebraisch, wenn für die Menge gerichtet ist und gilt. Entsprechend ,,abzählbar``. Zeigen Sie, daß die abzählbar algebraischen gerichteten vollständigen Halbordnungen genau die abzählbar algebraischen vollständigen Halbordnungen im in der Vorlesung definierten Sinne sind.

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